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등수 자동계산기

교육부는 중고교 내신을 상대평가에서 절대 평가로 바꾸기 위한 성적 표기 방식에서, 성적표가 수우미양가 대신에 ABCDE가 표시됩니다.

교과목별 석차가 없어지고 원점수, 과목 평균, 표준편차만 표기하게 되어 있습니다.

<종전>
과목            성취도        석차/학생수
수학                수               7/410

 

<변경>
과목          성취도(수강자수)     원점수/과목평균(표준편차)
수학                A  (410)                      95 / 75.2 (9.5)


성취평가제 상세변경내용

●성취도(수강자수),원점수,과목평균,과목표준편차로 표기
●원점수:지필평가 및 수행평가의 반영비율 환산 점수합계를 소수 첫째자리에서 반올림하여 정수로 기록
●과목평균,표준편차:원점수를 사용하여 계산하여 소수둘째자리에서 반올림하여 소수첫째자리까지 기록
● 성취도:원점수에 따라 다음과 표기한다.

        성취도               성취율(원점수)

          A                     90% 이상 
          B                     80% 이상~90% 미만
          C                     70% 이상~80% 미만
          D                     60% 이상~70% 미만
          E                      60% 미만
      
        ※성취도 표기 방법:원점수 95이면 성취율에서 95%로 A
                               원점수 71이면 성취율 71%로 C로 표기

        
       단, 체육, 음악, 미술 교과의 과목의 성취도는 다음과 같이 표기

         성취도         성취율(원점수)

            A                  80% 이상~100%
            B                  60% 이상~80% 미만
            C                  60% 미만



 

표준편차란 중심(평균)에서 얼마나 떨어져 분포해 있는가를 나타냅니다.

아래 그림과 같이 정규분포는 평균과 표준편차에 따라 항상 일정한 분포를 나타내게 됩니다.
(여기서 m은 평균,σ는 표준편차)

 

통계에서 확률분포인 정규분포는 뜻 그대로 정상적인 분포로 세상의 모든 일들이 이 정규분포에 따릅니다.

예를 들면 시험을 실시하여 평균(m) 80점과 표준편차(σ) 10에서는 정규분포에 따라 m±1σ 구간인 70점(80-1x10)과 90점(80+1x10) 사이에는 전체 중 68.3%가 분포하며, m±2σ 구간인 60점(80-2x10)과 100점(80+2x10) 사이에는 전체 중 95.5%가 분포하며, 100점과 60점 이하에서는 각각 전체에서 2% 이하가 분포하는 아래 그림과 같습니다.

※참고: 정확한 σ값 범위는  1σ ~ 34.13% , 2σ ~ 47.72% , 3σ ~ 49.87%

위의 정규분포에서 과목 평균 80점과 표준편차10에서 원점수 90점의 등수를 구하여 보면, 90점은 90 = 80(평균 m)+10(표준편차 1σ)인 m+1σ 지점이므로 퍼센타일 값은 50%(그림 왼쪽 반쪽 전체) + 34.13%(그림 오른쪽 1σ)에서 합 84.13%ile이 되며 상위 약16%(15.87=100-84.13)에 속하게 됩니다. 이 의미는 90점 이상은 측정집단 400명 중 64명(400x0.16)이 나올 수 있는 통계 값입니다.

이와 같은 방법으로 각 점수대의 등수는 표준정규분포 표로 구할 수 있으며, 이것을 각 점수대의 동점자를 처리하여 프로그램한 아래의 프로그램으로 쉽게 등수를 알 수 있을 것입니다.

등수 자동계산기
[사용방법]
원점수, 과목평균, 표준편차, 수강 학생수를 기입하여 OK를 누르면 자신의 등수와 전체 분포를 알 수 있습니다.

 

원점수에서 평균과 표준편차만 알면 자신이 전체 몇 등인지 알 수 있습니다.

 
원점수 90점이 나왔을 때, 평균 80점과 표준편차10을 알면, 자신의 등수는 전체 상위 16%에 속하는 것을 알 수 있습니다.(통계 확률분포 개념 이해가 필요)

   
위와 같이 표준편차와 평균으로 어떻게 상위 16%인지 알 수 있을까?

 

통계 분포인 정규분포는 평균(m)과 표준편차(σ)로 표현되며, 쉽게 계산하기 위하여 정규분포를 표준정규분포로 변환하여 계산합니다.

 

확률변수 X가 정규분포 N (m, σ²)을 따를때, 새로운 변수 Z를 다음과 같이 변환시켜면 새로운 확률변수 Z의 확률분포는  표준정규분포 N(0,12)을 따르게 됩니다.

 

        여기서  

즉, 정규분포를 평균(m)이 0이고 표준편차(σ)를 1로 표준화하면, 정규분포의 확률을 Z값 기준으로 쉽게 계산이 가능합니다.

 


 

아래 표는 표준정규분포곡선에서 0에서 Z까지의 확률을 표로 나타낸 것입니다. 아래 표준정규분포 표를 보는 방법은  Z=2.54의 값을 알고 싶다면 왼쪽 열에서 2.5로 나타난 행을 찾고 위쪽 첫 행에서 0.04으로 표시된 열을 찾아 만나는 지점의 값을 구한다. 만나는 지점값은 0.4945 으로 표시되어 Z 지점까지의 면적(확률)을 나타냅니다.(아래 곡선 그림의 면적, 곡선 전체 면적인 확률 값은 1)

< span style="color: #000000;">

 

 그러므로 원점수 90점을 받았다면, 표준편차 10과 평균 80점에서 전체 몇%에 해당하는지 구하여 보면,

 

       에서

 


 

이므로 위의 표에서 Z=1.0에 해당 확률은 표준정규분포 표에서 왼쪽 첫열에서 아래로 1.0 지점위쪽 첫행 0.00 지점이 만나는 지점을 찾으면 0.3413 라는 것을 알 수 있습니다.

 

그러므로 평균 80점과 표준편차 10에서 원점수 90점은 아래 그림과 같이 표준정규분포 표에서 좌측 면적(0.5)+Z 면적(0.3413)의  총면적인 확률 0.8413(0.5+0.3413)으로 퍼센타일값 84.13%ile(0.8413x100)을 구할 수 있습니다.

 

원점수에서 평균과 표준편차만 알면 자신이 전교 몇 등인지 알 수 있습니다.

 

원점수 90점은 표준편차10과 평균 80점에서 퍼센타일값(Percentile값:작은 쪽에서부터 세어 몇 % 째의 값이 어느 정도인지를 나타내는 통계적 표시법)이 84.13%ile이므로 상위16%(100-84.13)인 전교생 400명 중 64등(400x0.16)이 나올 수 있는 통계적 의미를 가지는 것입니다.

 

이와 같은 방법으로 프로그램한 것이 위의 등수자동계산기로 쉽게 자신의 등수를 알 수 있습니다.

 

 

 

※2015년도 수능시험에서 평균과 표준편차로 표준정규분포표를 보는 방법이 시험에 나왔습니다.

조그만 이해 했으면 쉽게 풀수 있는 문제인듯 합니다.

 

2015학년도 대학수학능력시험문제 수학 B형 홀수형 11번문제 ..2014년11월13일실시


 

2014/05/25 21:28 2014/05/25 21:28