일상생활/과학/나만의 아이큐세상

Posted
Filed under 교육

등수 자동계산기

교육부는 중고교 내신을 상대평가에서 절대 평가로 바꾸기 위한 성적 표기 방식에서, 성적표가 수우미양가 대신에 ABCDE가 표시됩니다.

교과목별 석차가 없어지고 원점수, 과목 평균, 표준편차만 표기하게 되어 있습니다.

<종전>
과목            성취도        석차/학생수
수학                수               7/410

 

<변경>
과목          성취도(수강자수)     원점수/과목평균(표준편차)
수학                A  (410)                      95 / 75.2 (9.5)


성취평가제 상세변경내용

●성취도(수강자수),원점수,과목평균,과목표준편차로 표기
●원점수:지필평가 및 수행평가의 반영비율 환산 점수합계를 소수 첫째자리에서 반올림하여 정수로 기록
●과목평균,표준편차:원점수를 사용하여 계산하여 소수둘째자리에서 반올림하여 소수첫째자리까지 기록
● 성취도:원점수에 따라 다음과 표기한다.

        성취도               성취율(원점수)

          A                     90% 이상 
          B                     80% 이상~90% 미만
          C                     70% 이상~80% 미만
          D                     60% 이상~70% 미만
          E                      60% 미만
      
        ※성취도 표기 방법:원점수 95이면 성취율에서 95%로 A
                               원점수 71이면 성취율 71%로 C로 표기

        
       단, 체육, 음악, 미술 교과의 과목의 성취도는 다음과 같이 표기

         성취도         성취율(원점수)

            A                  80% 이상~100%
            B                  60% 이상~80% 미만
            C                  60% 미만



 

표준편차란 중심(평균)에서 얼마나 떨어져 분포해 있는가를 나타냅니다.

아래 그림과 같이 정규분포는 평균과 표준편차에 따라 항상 일정한 분포를 나타내게 됩니다.
(여기서 m은 평균,σ는 표준편차)

 

통계에서 확률분포인 정규분포는 뜻 그대로 정상적인 분포로 세상의 모든 일들이 이 정규분포에 따릅니다.

예를 들면 시험을 실시하여 평균(m) 80점과 표준편차(σ) 10에서는 정규분포에 따라 m±1σ 구간인 70점(80-1x10)과 90점(80+1x10) 사이에는 전체 중 68.3%가 분포하며, m±2σ 구간인 60점(80-2x10)과 100점(80+2x10) 사이에는 전체 중 95.5%가 분포하며, 100점과 60점 이하에서는 각각 전체에서 2% 이하가 분포하는 아래 그림과 같습니다.

※참고: 정확한 σ값 범위는  1σ ~ 34.13% , 2σ ~ 47.72% , 3σ ~ 49.87%

위의 정규분포에서 과목 평균 80점과 표준편차10에서 원점수 90점의 등수를 구하여 보면, 90점은 90 = 80(평균 m)+10(표준편차 1σ)인 m+1σ 지점이므로 퍼센타일 값은 50%(그림 왼쪽 반쪽 전체) + 34.13%(그림 오른쪽 1σ)에서 합 84.13%ile이 되며 상위 약16%(15.87=100-84.13)에 속하게 됩니다. 이 의미는 90점 이상은 측정집단 400명 중 64명(400x0.16)이 나올 수 있는 통계 값입니다.

이와 같은 방법으로 각 점수대의 등수는 표준정규분포 표로 구할 수 있으며, 이것을 각 점수대의 동점자를 처리하여 프로그램한 아래의 프로그램으로 쉽게 등수를 알 수 있을 것입니다.

등수 자동계산기
[사용방법]
원점수, 과목평균, 표준편차, 수강 학생수를 기입하여 OK를 누르면 자신의 등수와 전체 분포를 알 수 있습니다.

 

원점수에서 평균과 표준편차만 알면 자신이 전체 몇 등인지 알 수 있습니다.

 
원점수 90점이 나왔을 때, 평균 80점과 표준편차10을 알면, 자신의 등수는 전체 상위 16%에 속하는 것을 알 수 있습니다.(통계 확률분포 개념 이해가 필요)

   
위와 같이 표준편차와 평균으로 어떻게 상위 16%인지 알 수 있을까?

 

통계 분포인 정규분포는 평균(m)과 표준편차(σ)로 표현되며, 쉽게 계산하기 위하여 정규분포를 표준정규분포로 변환하여 계산합니다.

 

확률변수 X가 정규분포 N (m, σ²)을 따를때, 새로운 변수 Z를 다음과 같이 변환시켜면 새로운 확률변수 Z의 확률분포는  표준정규분포 N(0,12)을 따르게 됩니다.

 

        여기서  

즉, 정규분포를 평균(m)이 0이고 표준편차(σ)를 1로 표준화하면, 정규분포의 확률을 Z값 기준으로 쉽게 계산이 가능합니다.

 


 

아래 표는 표준정규분포곡선에서 0에서 Z까지의 확률을 표로 나타낸 것입니다. 아래 표준정규분포 표를 보는 방법은  Z=2.54의 값을 알고 싶다면 왼쪽 열에서 2.5로 나타난 행을 찾고 위쪽 첫 행에서 0.04으로 표시된 열을 찾아 만나는 지점의 값을 구한다. 만나는 지점값은 0.4945 으로 표시되어 Z 지점까지의 면적(확률)을 나타냅니다.(아래 곡선 그림의 면적, 곡선 전체 면적인 확률 값은 1)


 

 그러므로 원점수 90점을 받았다면, 표준편차 10과 평균 80점에서 전체 몇%에 해당하는지 구하여 보면,

 

       에서

 


 

이므로 위의 표에서 Z=1.0에 해당 확률은 표준정규분포 표에서 왼쪽 첫열에서 아래로 1.0 지점위쪽 첫행 0.00 지점이 만나는 지점을 찾으면 0.3413 라는 것을 알 수 있습니다.

 

그러므로 평균 80점과 표준편차 10에서 원점수 90점은 아래 그림과 같이 표준정규분포 표에서 좌측 면적(0.5)+Z 면적(0.3413)의  총면적인 확률 0.8413(0.5+0.3413)으로 퍼센타일값 84.13%ile(0.8413x100)을 구할 수 있습니다.

 

원점수에서 평균과 표준편차만 알면 자신이 전교 몇 등인지 알 수 있습니다.

 

원점수 90점은 표준편차10과 평균 80점에서 퍼센타일값(Percentile값:작은 쪽에서부터 세어 몇 % 째의 값이 어느 정도인지를 나타내는 통계적 표시법)이 84.13%ile이므로 상위16%(100-84.13)인 전교생 400명 중 64등(400x0.16)이 나올 수 있는 통계적 의미를 가지는 것입니다.

 

이와 같은 방법으로 프로그램한 것이 위의 등수자동계산기로 쉽게 자신의 등수를 알 수 있습니다.

 

 

 

★학교알리미홈페이지 schoolinfo.go.kr 의  '학업성취도'에서 각학교,학년별,교과별 성적사항을 알 수 있습니다.

 

2015년도 개포중학교 2학년1학기 A B C D E등급비율

과목 평균 표준편차 성취도별 분포 비율
A B C D E
국어 75.1 17.8 23.5 16.1 17.4 12.2 20.9
수학 72.1 19.6 23.5 17.4 20.0 14.8 24.3
영어 67.9 20.6 18.3 17.4 11.3 22.6
30.4
과학 70.8 18.7 17.4 19.1 22.6 11.3

29.6

역사 73.3 18.7 19.1 28.7 15.7 14.8

20.2

도덕 76.7 18.2 29.6 25.2 15.7 11.3

18.3

기가 84.4 14.3 49.6 18.3 15.7 7.0

9.6

 

※ 자연현상에서 위의 성적표는 평균과 표준편차에서 등급 분포를 보면 정확한 정규분포 형태는 아니지만, 확률적으로 어느 정도 정규분포 형태를 보여주는 것을 알 수 있습니다.

정규분포는 자연 현상에서 나타나는 정상적인 분포입니다. 일정한 측정수에서 평균과 표준편차를 가지게 되면 정규분포 형태로 나타나게 됩니다.

 

보통 측정자수가  30명이며 정규분포 형태를 보여주며,측정자수가  많을수록 더 정규분포 형태를 띠게 되어 있지요. 측정자 성적의 평균을 구하여 평균 중심으로 표준편차만큼 얼마나 떨어져 분포해 있는가를 나타내는 자연현상이 정상적으로 정규분포 형태로 나타납니다. 

 

확률적인 개념이므로 확률로 생각을 하여야 할 것입니다. 하나하나는 눈에 보이는 정확한 정규분포 모양이 아닐 수도 있지만 확률적으로 전체를 보면 정규분포 모양의 형태를 가진다는 것입니다.

 

 

평균과 표준편차로 표현된 정규분포 형태에서, 위의 성적표에서 기가 과목의 경우에는 시험 문제가 쉬워서 평균(84.4)은 높고 학생들 간 성적 차이가 적은  표준편차(14.3)로, 정규분포(종모양) 중심인 평균(84.4)이 A등급(90점이상) 방향으로 치우쳐 A등급(90점이상)에 많은 학생이 분포해 있고 E등급(60점미만) 쪽은 적은 학생들이 분포해 있는 것을 짐작할 수 있습니다.

 

 


정규분포, 기가 평균=84.4, 표준편차=14.3

 


또, 표준편차(18.7)는 동일하고 평균에서 차이가 있는 과학(70.8) < 역사(73.3)에는 정규분포 중심(평균)이 C등급(70~79점)에서 B등급(80~89점) 방향으로 이동한 것을 어림짐작 알 수 있습니다. 

 


정규분포,  과학평균 70.8(왼쪽) 역사평균 73.3(오른쪽), 표준편차=18.7

 


위에서 알 수 있듯이 자연현상에서 정규분포 형태는 학생 성적표 등수를 확률적 관점에서 자신의 위치를 알 수 있으며, 성적표
에서 평균과 표준편차를 어느 정도 이해하는데 도움이 될 것입니다.

 


 

2014/05/25 21:28 2014/05/25 21:28
Posted
Filed under 과학

나의 키 자동계산기

통계학의 아버지라고 불리는 영국의 칼 피어슨(Karl Pearson)은 세상의 모든 사건은 독립적으로 일어나지만 서로 상관관계를 맺고 있어, 상관관계를 맺는 두 변수 중에서 하나의 변수를 알면 다른 것을 알 수 있다는 상관관계 계수(correlation coefficient)의 개념을 처음 만들었다.

그는 키가 유전적이라는 것에 바탕을 두어 1,078쌍의 아버지의 키와 성장 후의 아들의 키 상관관계를 만들어 아버지의 키를 보고 아들의 키를 예측할 수 있었다.

아들의 키(cm)=85.67 + 0.516 x 아버지의 키(cm)

여기에서 아버지의 키가 크면 아들의 키가 더 커지지 않고, 통계학의 회귀분석(regression analysis) 이론을  처음 만들어 평균으로 회귀한다고 하였다.

즉 아버지 키가 평균 이상으로 크면, 아들은 평균키 쪽으로 오게 되어 아버지 키보다 작으며, 아버지 키가 평균 이하이면 아들 키는 아버지 키보다 크다는 것이다.

우리나라의 평균키가 174.3cm이므로 아버지 키가 170cm 이면 아버지 키가 평균보다 작으므로 아들은 아버지 키보다 더 클 수가 있다는 것이다. 즉 아들의 키는 173cm( 85.67+0.516x170)된다는 것이다. 아버지 키가 180cm 이면 아버지 키가 평균키보다 크므로 아들 키 178.6cm(85.67+0.516x180)는 아버지 키 180cm보다 클 수가 없다는 것이다.

키는 유전적 요소가 있지만, 현대에는 영양상태 등 환경적 요소가 많이 차지하고 있어 식생활을 개선하면 키가 커질수 가 있으며 통계적으로 우리나라 성인 남녀는 1966년에서 2005년 동안 40년 사이에 평균 5cm 정도 커진 것으로 조사 되었다. (우리나라 성인남녀 만 20세 기준  평균키 ::남자 174.3cm 여자 161.2cm/대한 소아과 학회/ 2005년)

★ 각 나라별 남자 여자 평균키

국가 남자 여자 년도
한국 173.3 160.9 2002
일본 170.7 157.9 2002
중국 169.7 158.6 2000
베트남 162 152 2002
북한 158 153 2001
미국 175 162.5 2001
벨기에 175.6 166.5 1996
덴마크 181.5 168.5 1996
독일 180.2 168.3 1996
그리스 176.5 165.3 1996
스페인 173.4 164.3 1996
프랑스 176.4 164.7 1996
아일랜드 176.1 164.9 1996
이탈리아 176.1 164.1 1996
룩셈부르크 179.1 166.6 1996
네덜란드 182.5 170.5 1996
오스트리아 178.2 166.7 1996
포르투갈 173.9 163 1996
핀란드 178.2 165 1996
스웨덴  179.6 166.1 1996
영국  178.1 164.2 1996
러시아 176 168 1996





★우리나라 남자 여자  평균 표준편차 키


◀남자키▶ 연령별 통계량별  cm
  7세 평균 121.8
    표준편차 5.06
  8세 평균 128.1
    표준편차 5.42
  9세 평균 133.9
    표준편차 5.82
  10세 평균 138.6
    표준편차 5.81
  11세 평균 144.2
    표준편차 6.75
  12세 평균 151.3
    표준편차 7.60
  13세 평균 158.2
    표준편차 7.85
  14세 평균 164.1
    표준편차 7.18
  15세 평균 169.0
    표준편차 5.88
  16세 평균 170.8
    표준편차 5.59
  17세 평균 173.1
    표준편차 5.64
  18세 평균 173.2
    표준편차 5.32
  19세 평균 172.8
    표준편차 5.85
  20~24세 평균 173.5
    표준편차 5.17
  25~29세 평균 173.6
    표준편차 5.72
  30~34세 평균 172.4
    표준편차 5.62
  35-39세 평균 171.9
    표준편차 5.74
  40~49세 평균 169.2
    표준편차 5.68
  50~59세 평균 166.3
    표준편차 5.92
  60~69세 평균 164.4
    표준편차 5.17




◀여자키▶ 연령별 통계량별  cm
  7세 평균 120.1
    표준편차 4.92
  8세 평균 126.3
    표준편차 5.20
  9세 평균 132.5
    표준편차 5.63
  10세 평균 138.1
    표준편차 6.32
  11세 평균 144.8
    표준편차 6.95
  12세 평균 152.1
    표준편차 6.08
  13세 평균 155.7
    표준편차 5.45
  14세 평균 158.1
    표준편차 5.24
  15세 평균 159.1
    표준편차 4.89
  16세 평균 159.7
    표준편차 5.02
  17세 평균 160.5
    표준편차 5.20
  18세 평균 160.5
    표준편차 5.07
  19세 평균 159.8
    표준편차 5.49
  20~24세 평균 160.4
    표준편차 5.27
  25~29세 평균 160.2
    표준편차 5.13
  30~34세 평균 160.1
    표준편차 5.22
  35-39세 평균 159.0
    표준편차 5.15
  40~49세 평균 156.7
    표준편차 4.99
  50~59세 평균 154.7
    표준편차 5.17
  60~69세 평균 152.3
    표준편차 5.32


출처 : 산업통상자원부, 한국인인체치수조사(2016년)



나의 키 자동계산기

나의 키가 상위 %인지 알아보기 
▷자신의 성별, 만 나이와  키를 넣고 OK를 누르면 상위 %인지 알 수 있습니다.


<예>수영의 만 나이 26세, 신체 키 170cm 일 때, 성별에서 여자를 선택한 후, 만 나이 26과 키 170을 기입하여 OK를 누르면 전체중에서 97.2%보다 높으며,상위 2.8%로 100명 중 3등입니다. 500명 중에서는 14등이며, 평균과 표준편차로 표현된 정규분포에서 자신의 상대적 키의 위치를 알 수 있습니다.

2009/03/17 08:30 2009/03/17 08:30